久しぶりに多項式環とたわむれた

タイトルの通り. 昨日もそんなことを書いたような.

最近歩いているときは無心なことが多かったのだが, 歩きながら多項式環のイデアルを計算していたらハマってしまって, 歩きながらいろんなことに思いを馳せていた.

たとえば, Krull の上昇定理などと呼ばれる定理がある. Atiyah-MacDonald によると,

${S \subset R}$ を単位的可換環で, ${R}$ は ${S}$ 上整(integral)とするとき, ${S}$ の素イデアルの昇鎖
${ \begin{align} \mathfrak{p}_1 \subset \mathfrak{p}_2 \subset \dots \subset \mathfrak{p}_n \end{align} }$
と, ${R}$ の素イデアルの昇鎖
${ \begin{align} \mathfrak{q}_1 \subset \mathfrak{q}_2 \subset \dots \subset \mathfrak{q}_m \quad (m < n) \end{align} }$
で, 各 ${i=1,2, \dots, m}$ に対し ${S \cap \mathfrak{q}_i = \mathfrak{p}_i}$ が成り立っていたとする. このとき, ${R}$ の素イデアル ${\mathfrak{q}_{m+1}, \mathfrak{q}_{m+2}, \dots, \mathfrak{q}_n}$ で,
${ \begin{align} \mathfrak{q}_1 \subset \mathfrak{q}_2 \subset \dots \subset \mathfrak{q}_n \end{align} }$
で, ${i=m+1,\dots, n}$ に対しても ${S \cap \mathfrak{q}_i = \mathfrak{p}_i}$ となるようなものがある. ところが, 実はこの命題の核心は, 整拡大においては素イデアルの上に素イデアルがある*1という事実に基づいている. つまり次の事実が成り立つ.

${S \subset R}$ が整拡大ならば, 任意の ${S}$ の素イデアル ${\mathfrak{p}}$ に対し, ${R}$ の素イデアル ${\mathfrak{q}}$ で, ${S\cap \mathfrak{q} = \mathfrak{p}}$ となるものがある.

なので, 上昇定理において ${S\cap \mathfrak{q}_i = \mathfrak{p}_i}$ となるような素イデアルは常にある. しかし, ${\mathfrak{q}_i}$ たちが昇鎖になるためには予め ${\mathfrak{q}_1}$ は最低でも定まっていなければならない. 実際, 簡単に反例が作れる. わりと簡単なのと眠いから書かない.

問題として定式化すると次: ${S\subset R}$ を整拡大とする. ${S}$ の素イデアルの昇鎖
${ \begin{align} \mathfrak{p}_1 \subset \mathfrak{p}_2 \subset \dots \subset \mathfrak{p}_n \end{align} }$
に対し, 各 ${i}$ についてある ${R}$ の素イデアル ${\mathfrak{q}_i}$ がある. しかし, ある ${i}$ について ${\mathfrak{q}_i \not\subset \mathfrak{q}_{i+1}}$ となるようなものを見つけよ.