Diary over Finite Fields

515ひかるの日記と雑文

勉強会をした

数学

いますごく疲れている.

僕の所属している大学で小規模な勉強会をした. かなり内輪であったが以下のようなことが話された.

レムニスケート上の ${\mathbb{F}_q}$ 有理点と Weil 予想
Hopf fibration と Hamiltonian system
Riemann-Roch の定理の証明
Bernoulli 数と ${p}$ 進 ${L}$ 関数

ちなみに一番上が僕の講演内容である.

せっかくなので僕がどんなことを喋ったのか, このブログでもすごく簡単に*1書こうと思う.

講演の概要

すごーくざっくりというと, ${\mathbb{F}_p}$ 上の "図形" ${X}$ *2 の ${\mathbb{F}_{p^{n}}}$ 有理点の数を数えることが大事である. なぜかというと, その "図形" ${X}$ 上の合同ゼータ関数 ${Z(X, t)}$ は次のように定義*3されるからである.

${ \begin{align} Z(X, t) = \exp\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\#X(\mathbb{F}_{p^n})}{n}t^n \end{align} }$

ここで ${\#X(\mathbb{F}_{p^n})}$ は ${X}$ の ${\mathbb{F}_{p^n}}$ 有理点の数である.

この合同ゼータ関数は, 次の 2 つの性質を持つ.

${t}$ の有理関数になる.
極や零点 ${\beta}$ は, ${|\beta| =m/2}$ ( ${m\in\mathbb{Z}}$ ) を満たす(Riemann 予想の類似である).

これは Weil 予想(の一部)である*4.

では実際にこれが成り立つ例をひとつ計算しようということで, ${y^2=1-x^4}$ (レムニスケート) における合同ゼータ関数を計算し, 実際に Weil 予想が成立していることを確認するという発表をした.
かなり雑に書いたので不正確な言及があったかもしれない. あまりこの記事を信頼しないで欲しい.

関係者の方, 楽しかったです. またやりたいですね.

*1:ちなみに勉強会ではすごく延長させてもらって 4.5h くらい話した. 反省している.

*2:代数多様体

*3:そもそもこのように定義される理由を解説するのが非常に面倒くさい. Hasse-Weil のゼータ関数の積の因子を計算し, かつ環準同型と ${k}$ 有理点の対応を解説しなければならない. それだけでひとつ記事にできそうだ.

*4:正確には, この予想は Weil は述べていない. Weil 自身は非特異射影代数多様体における, 少し異なる形の予想を掲出した. 実はその Weil 予想の原型ももとは E. Artin が予想したことであるが