7 は孤独じゃない!! 無限に存在する 7 の仲間たち

みなさんは, アニメ「すべてが F になる」を御覧になったでしょうか.

www.f-noitamina.com

そこで真賀田四季博士がこんなことを言ってましたね.

7 は孤独な数

この根拠は何かというと, 次の問題*1の答えで 7 が鍵になるからです.

1 から 10 までの数をふたつの組に分け, それぞれの組を掛け合わせる. このとき, 積の答えが等しくなることがあるか.

しかし, この価値観だけである数が孤独かどうか*2を判定するのは視野が狭いでしょう. 真賀田博士がそんなことに気づかないとも思えませんが, せっかくなので 7 は孤独じゃなくて無限に仲間がいることを証明しましょう!!!!!

7 の特徴

7 は素数です. なので無限に仲間がいます.

素数が無限に存在すること

${\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}}$ を, Riemann ${\zeta}$ 関数とします. このとき, ${s=1}$ がこの関数の極になることはよく知られていることと思います.

また, ${\zeta}$ 関数は次のような特徴を持ちました: ${s}$ の実部を ${\sigma}$ *3 としたとき, ${\sigma > 1}$ ならば,

${ \begin{align} \zeta(s) = \prod_p(1-p^{-s})^{-1} \end{align} }$

という無限積の表示ができます(積はすべての素数をわたります). これを Euler 積といいます.

ここで, 背理法を用いて素数が無限に存在することを示しましょう. 素数が有限個しかなかったとします. すると, 右辺は有理数の有限個の積なので有理数. しかし, ${s=1}$ では ${\zeta}$ 関数は発散するので, 矛盾します. したがって素数は無限に存在します.

もう少し近い仲間

しかし, 素数というだけではあまり仲間という感じがしませんね. そもそも素数って分布がよくわからないし, 7 とは縁遠い素数だってたくさんいそうです. では, 素数の中でも 7 と特徴が近い素数って何があるでしょうか.

ここで, 剰余で分類することを考えましょう. 特に, 奇素数を ${\bmod 4}$ で分類することを考えましょう.

すると, 7 は 4 でわると 3 余ります. なので 3, 7 は仲間です. では, こんな仲間ってどれくらいいるんでしょうか??

${L}$ 関数

上の問題を調べるためにこんな級数を考えましょう.

${ \begin{align} L(s) = \sum_{n: \text{奇数}}^{\infty}\frac{(-1)^{\frac{n-1}{2}}}{n^s}=\frac{1}{1^s}-\frac{1}{3^s}+\frac{1}{5^s}-\frac{1}{7^s}+\cdots \end{align} }$

これは Dirichlet ${L}$ 関数と呼ばれる関数の特別な形のひとつ*4です. これは実は ${\sigma > 0}$ で収束します. これも Euler 積表示ができて,

${ \begin{align} L(s) = \prod_{p \neq 2}\frac{1}{1-\frac{(-1)^{\frac{n-1}{2}}}{p^s}} = \prod_{p \equiv 1\bmod 4}(1-p^{-s})^{-1}\prod_{p \equiv 3\bmod 4}(1+p^{-s})^{-1} \end{align} }$

となります. っつーことで, ${\zeta(s)/L(s)}$ を計算してみましょう.

${ \begin{align} \frac{\zeta(s)}{L(s)} = \prod_{p \equiv 3\bmod 4}\frac{1+p^{-s}}{1-p^{-s}} \end{align} }$

ここで, 背理法を用いて, ${p \equiv 3 \bmod 4}$ となる素数が無限に存在することを示しましょう. まず, そのような素数が有限個しか存在しないと仮定します. 右辺は ${s=1}$ で正則な関数です.
よって, ${L(1) \neq 0}$ ならば, ${\zeta}$ 関数が ${s=1}$ で正則になり矛盾します. したがって, ${L(1)=0}$ が必要です.