卒業研究がひと区切りついた - Diary over Finite Fields

Dirichlet の定理の証明をフォローしました.

Dirichlet の定理

まず密度を定義する.*1 ${A}$ を素数の部分集合とするとき, 密度とは, 実数 ${s > 1}$ が ${1}$ に近づくとき, 次の式が

${ \begin{align} \frac{\sum_{p\in A}p^{-s}}{\sum_{p}p^{-s}} \approx \frac{\sum_{p\in A}p^{-s}}{\log(\frac{1}{s-1})} \end{align} }$

へと近づいていくが, この ${s \to 1}$ の極限が存在するとき, それを密度という. 密度は存在すれば ${0}$ 以上 ${1}$ 以下である.

この密度のもとで, Dirichlet の定理の主張を述べよう.

${a, m}$ を互いに素な素数とする. このとき, ${p \equiv a \pmod m}$ を満たす素数 ${p}$ の密度は存在し, ${1/\phi(m)}$ に等しい. ここで, ${\phi}$ は Euler の関数である.

たとえば, ${a=3, m=4}$ でやれば, その密度は ${1/\phi(4)=1/2}$ . つまり素数のうち "だいたい半分" が 4 でわって 3 余るわけです. 同じくらい 4 でわって 1 あまる素数があります. 要するに条件を満たす合同方程式の解となるような素数が "だいたい平等に" 分布していることを示すのがこの定理です. 素数ってなんとなくランダムに分布しているような気がするわけですけど, 剰余をとって考えれば分布は均等なわけです. 不思議ですね…はい. そんなに不思議でもない? そう......